Miniguida di Geogebra

di Antonio Bernardo

Una mini guida con i comandi più usati del software opensource Geogebra

GeoGebra è un programma adatto per l’apprendimento di geometria, algebra e analisi. Sviluppato da Markus Hohenwarter presso la Florida Atlantic University, per la didattica della matematica nella scuola, è un sistema di geometria dinamica con il quale è possibile eseguire costruzioni con punti, vettori, segmenti, rette, coniche e funzioni e successivamente modificarle dinamicamente. Ma GeoGebra può gestire contemporaneamente variabili numeriche, vettori e punti, calcolare derivate e integrali di funzioni e dispone di comandi come Radice o Estremo. I due punti di vista, quello puramente geometrico e quello algebrico-analitico, sono caratteristici di GeoGebra: un’espressione nella finestra algebra corrisponde a un oggetto nella finestra geometria e viceversa.

La finestra del software all’avvio

Input geometrico

Icona 1: muovi
	Muovi	Consente di trascinare e rilasciare oggetti liberi con il mouse. Dopo aver selezionato un oggetto in modalità Muovi è possibile eliminarlo premendo il tasto Canc o muoverlo utilizzando i tasti freccia. La modalità Muovi si attiva anche premendo il tasto Esc.
	Ruota intorno a un punto	Dopo aver selezionato il centro di rotazione, è possibile ruotare gli oggetti liberi intorno a questo punto, trascinandoli con il mouse.
Icona 2: punti
	Nuovo Punto	Per creare un nuovo punto, fare clic sul foglio da disegno. Le coordinate del punto vengono fissate quando il pulsante del mouse viene rilasciato. Facendo clic su un segmento, una retta, una curva si crea un punto vincolato su questo oggetto. Facendo clic sull’intersezione di due oggetti si genera il punto di intersezione.
	Intersezione di due oggetti	I punti di intersezione di due oggetti possono essere determinati in due modi: – selezionando due oggetti vengono creati tutti i punti di intersezione (se possibile); – facendo clic su un’intersezione di due oggetti viene creato solamente quel punto di intersezione.
	Punto medio o centro	Fare clic su: due punti per ottenerne il punto medio; un segmento per ottenerne il punto medio; una conica per ottenerne il centro.
Icona 3: segmenti
	Retta per due punti	Selezionando due punti A e B viene tracciata la retta per A e B. Il vettore direzione della retta è (B-A).
	Segmento tra due punti	Selezionare due punti A e B per creare il segmento di estremi A e B. Nella finestra algebra viene visualizzata la lunghezza del segmento.
	Segmento di data lunghezza da un punto	Fare clic su un punto A, primo estremo del segmento. Nella finestra che viene visualizzata di seguito specificare la lunghezza desiderata.
	Semiretta per due punti	Selezionando due punti A e B viene generata la semiretta uscente da A e passante per B. Nella finestra algebra viene visualizzata l’equazione della retta corrispondente.
	Vettore tra due punti	Selezionare il punto di applicazione e il punto finale del vettore.
	Vettore da un punto	Selezionare un punto A e un vettore v per creare il punto B = A + v e il vettore da A a B.
Icona 4: costruzioni
	Retta perpendicolare	Selezionando una retta g e un punto A viene tracciata la retta per A perpendicolare a g.
	Retta parallela	Selezionando una retta g e un punto A viene tracciata la retta per A parallela a g.
	Asse di un segmento	L’asse di un segmento viene tracciato selezionando un segmento s o due punti A e B.
	Bisettrice	La bisettrice di un angolo può essere tracciata in due modi: selezionando tre punti A, B, C si genera la bisettrice dell’angolo da essi definito, in cui B è il vertice; selezionando due rette si generano le due bisettrici degli angoli da esse formati.
	Tangenti	Le tangenti a una conica possono essere tracciate in più modi: selezionando un punto A e una conica c vengono tracciate tutte le tangenti a c, passanti per A; selezionando una retta g e una conica c vengono tracciate tutte la tangenti a c che sono parallele a g; selezionando un punto A e una funzione f viene generata la retta tangente a f in x=x(A).
	Polare o diametro	Questa modalità genera la polare o il diametro di una conica. E’ possibile selezionare un punto e una conica per ottenere la polare oppure selezionare una retta o un vettore e una conica per ottenerne il diametro.
	Luogo	Selezionare il punto B di cui si desidera visualizzare il luogo dipendente da un altro punto A, quindi fare clic sul punto A. Il punto B deve essere un punto su un oggetto (ad es. retta, segmento, circonferenza).
Icona 5: poligoni
	Poligono	Selezionare almeno tre punti, che saranno i vertici del poligono. Quindi fare nuovamente clic sul primo punto per chiudere il poligono. Nella finestra algebra viene visualizzata l’area del poligono.
	Poligono regolare	Selezionando due punti A e B e digitando un numero n nel campo di testo della finestra di dialogo che viene visualizzata, si ottiene un poligono regolare con n vertici (inclusi i punti A e B).
Icona 6: curve
	Circonferenza di dato centro	Selezionando un punto M e un secondo punto P si definisce la circonferenza di centro M e passante per P. Il raggio della circonferenza è la distanza MP.
	Circonferenza dati centro e raggio	Dopo aver selezionato il centro M è necessario inserire la misura del raggio nella finestra di dialogo visualizzata.
	Circonferenza per tre punti	Selezionando tre punti A, B, C viene tracciata la circonferenza per questi tre punti. Se i tre punti sono allineati, la circonferenza degenera nella retta per i tre punti.
	Semicirconferenza per due punti	Selezionando due punti A e B si ottiene la semicirconferenza di diametro AB.
	Arco circolare di dato centro per due punti	Selezionando tre punti M, A e B si ottiene un arco di circonferenza di centro M, con punto iniziale A e punto finale B.
	Arco circumcircolare per tre punti	Selezionando tre punti si ottiene un arco di circonferenza per questi tre punti.
	Settore circolare di dato centro per due punti	Selezionando tre punti M, A e B si ottiene un settore circolare di centro M con punto iniziale A e punto finale B.
	Settore circumcircolare per tre punti	Selezionando tre punti si ottiene un settore circolare per questi tre punti.
	Conica per cinque punti	Selezionando cinque punti viene generata la conica passante per questi. E’ sufficiente che almeno quattro dei cinque punti non sono allineati affinché la conica sia definita.
Icona 7: misure
	Angolo	Questo strumento può creare: l’angolo tra tre punti; l’angolo tra due segmenti; l’angolo tra due rette; l’angolo tra due vettori; tutti gli angoli interni di un poligono. Se si vuole limitare la misura massima dell’angolo a 180°, deselezionare nella Finestra delle Proprietà la voce Permetti angolo concavo.
	Angolo di data misura	Selezionare due punti A e B e digitare la dimensione dell’angolo nella casella di testo della finestra che viene visualizzata. Questo modo genera un punto C e un angolo α, dove α è l’angolo ABC.
	Distanza o lunghezza	Questo strumento fornisce la distanza tra due punti, tra due rette o tra un punto e una retta. Inoltre può fornire la lunghezza di un segmento o la misura di una circonferenza.
	Pendenza	Questo modo fornisce la pendenza di una retta come testo dinamico nella finestra geometria.
Icona 8: trasformazioni
	Simmetrico rispetto a una retta	Selezionare l’oggetto di cui si desidera ottenere il simmetrico. Quindi fare clic sulla retta che funge da asse di simmetria.
	Simmetrico rispetto a un punto	Selezionare l’oggetto di cui si desidera ottenere il simmetrico. Quindi fare clic sul punto che funge da centro di simmetria.
	Ruota intorno a un punto di un angolo	Selezionare l’oggetto che deve essere ruotato, quindi fare clic sul punto che funge da centro di rotazione. Verrà visualizzata una finestra in cui si deve specificare l’angolo di rotazione.
	Trasla di un vettore	Selezionare l’oggetto da traslare, quindi fare clic sul vettore di traslazione.
	Dilata da un punto di un fattore	Selezionare l’oggetto da dilatare. Quindi fare clic sul punto che funge da centro di dilatazione. Verrà visualizzata una finestra in cui si deve specificare il fattore di dilatazione.
Icona 9: testo
	Slider	In GeoGebra uno slider è la rappresentazione grafica di un numero o di un angolo liberi. Fare clic in una qualunque area libera del foglio da disegno per creare uno slider relativo ad un numero o ad un angolo. La finestra che viene visualizzata permette di specificare l’intervallo [min, max] del numero o dell’angolo, come pure l’allineamento e l’ampiezza dello slider (in pixel). E’ possibile creare uno slider a partire da qualsiasi numero o angolo liberi già esistenti, mostrando l’oggetto dal Menu contestuale.
	Casella di controllo per mostrare nascondere oggetti	Facendo clic sul foglio da disegno viene creata una casella di controllo (variabile Booleana) che consente di mostrare o nascondere uno o più oggetti. Nella finestra di dialogo che viene visualizzata è possibile specificare quali oggetti devono essere controllati dalla casella di controllo.
	Testo	Con questo strumento è possibile creare testi statici e dinamici o formule LaTeX nella finestra geometria. Facendo clic sul foglio da disegno viene creato un nuovo testo nella posizione specificata. Facendo clic su un punto viene creato un nuovo testo la cui posizione è collegata al punto. Successivamente viene visualizzata una finestra di dialogo per l’immissione del testo.
	Inserisci immagine	Questo strumento permette di aggiungere un’immagine alla costruzione. Facendo clic sul foglio da disegno si posiziona il vertice inferiore sinistro dell’immagine. Facendo clic su un punto si specifica questo punto come vertice inferiore sinistro dell’immagine. Verrà quindi visualizzata una finestra di dialogo, nella quale si potrà selezionare il file immagine da inserire.
	Relazione tra due oggetti	Selezionare due oggetti per ottenere informazioni sulla loro relazione. Per esempio, si può sapere se due rette sono parallele, …
Icona 10: visualizzazione
	Muovi il foglio da disegno	Trascinare e rilasciare il foglio da disegno per spostare l’origine del sistema di coordinate. E’ possibile muovere il foglio da disegno premendo il tasto Shift e trascinandolo con il mouse. Questo modo consente anche di modificare la scala di ciascuno degli assi, trascinandolo con il mouse.
	Zoom avanti	Fare clic in un punto qualsiasi del foglio da disegno per ingrandire.
	Mostra/nascondi oggetto	Gli oggetti geometrici possono essere visualizzati graficamente (mostra) oppure resi invisibili (nascondi). Per modificarne lo stato si utilizza lo strumento Mostra / nascondi oggetto o il Menu. L’icona alla sinistra di ogni oggetto nella finestra algebra mostra lo stato di visualizzazione corrente ( “mostrato” o “nascosto”).
	Mostra/nascondi etichetta	Le etichette associate a un oggetto geometrico possono essere nascoste o rese visibili con questo strumento.
	Copia stile visuale	Questo strumento permette di copiare le proprietà di visualizzazione grafica come colore, dimensione, stile, etc. da un oggetto ad altri. Scegliere l’oggetto le cui proprietà devono essere copiate, quindi fare clic su tutti gli altri oggetti a cui si desiderano applicare le stesse proprietà.
	Cancella oggetti	Attivare questo strumento e fare clic sugli oggetti da cancellare.

Il menu contestuale

Il menu contestuale si attiva facendo clic con il tasto destro del mouse su un oggetto.

Mostra oggetto – permette di mostrare o nascondere l’oggetto.

Mostra etichetta – permette di mostrare o nascondere l’etichetta associata all’oggetto.

Traccia on – i questa modalità, gli oggetti geometrici possono lasciare una traccia sullo schermo, quando vengono utilizzati dinamicamente. Per eliminare tutte le tracce utilizzare il comando Ripristina la videata dal menu Visualizza.

Rinomina – per rinominare l’oggeto.

Ridefinisci – La ridefinizione di oggetti è uno strumento molto versatile per modificare una costruzione. Esempi: Per posizionare un punto libero A su una retta h, scegliere Ridefinisci nel menu contestuale del punto A e immettere Punto[h]nel campo di inserimento della finestra di dialogo che viene visualizzata. Per rimuovere il punto dalla retta e renderlo nuovamente libero, ridefinirlo assegnandogli coordinate libere Per convertire una retta h passante per due punti A e B in un segmento, scegliere Ridefinisci e immettere Segmento[A,B]nel campo di inserimento della finestra di dialogo che viene visualizzata.

Cancella – per cancellare l’oggetto.

Proprietà – La finestra di dialogo Proprietà permette di modificare le proprietà degli oggetti (ad es., colore, stile della linea).

Input algebrico

Nella finestra algebra, posta sul lato sinistro, vengono visualizzati valori, coordinate ed equazioni di oggetti liberi e dipendenti. Gli oggetti liberi non dipendono da alcun altro oggetto e possono essere modificati direttamente.

E’ possibile creare e modificare oggetti utilizzando il campo di inserimento testo, in basso nella schermata di GeoGebra.

I comandi più frequenti

Angolo[vettore v1, vettore v2]	Angolo tra due vettori v1 e v2 (tra 0 e 360°)
Angolo[retta g, retta h]	Angolo tra i vettori direzione di due rette g e h (tra 0 360°)
Angolo[punto A, punto B, punto C]	Angolo compreso tra BA e BC (tra 0 e 360°). Il punto B è il vertice.
Angolo[punto A, punto B, angolo alpha]	Angolo di misura alpha tracciato da A con vertice B.
Angolo[conica c]	Angolo di inclinazione dell’asse maggiore di una conica c.
Angolo[vettore v]	Angolo tra l’asse x e il vettore v.
Angolo[punto A]	Angolo tra l’asse x e il vettore posizione di A.
Angolo[numero n]	Converte un numero n in un angolo (compreso tra 0 e 2pi).
Angolo[poligono poly]	Tutti gli angoli interni di un poligono poly
ArcoCircolare[punto M, punto A, punto B]	Arco di circonferenza con centro M tra due punti A e B. Il punto B non deve necessariamente giacere sull’arco.
Area[punto A, punto B, punto C, …]	Area del poligono definito dai punti A, B, e C
Area[conica c]	Area della conica c (circonferenza o ellisse)
Asintoto[iperbole h]	Entrambi gli asintoti di un’iperbole h
Baricentro[poligono poly]	Baricentro di un poligono poly
Bisettrice[punto A, punto B, punto C]	Bisettrice dell’angolo (A, B, C), dove B è il vertice dell’angolo.
Bisettrice[retta g, retta h]	Entrambe le bisettrici di g e h.
Centro[conica c]	Centro di una conica c (es. circonferenza, ellisse, iperbole)
Circonferenza[punto M, numero r]	Circonferenza di centro M e raggio r.
Circonferenza[punto M, segmento s]	Circonferenza di centro M e raggio = Lunghezza[s].
Circonferenza[punto M, punto A]	Circonferenza di centro M e passante per A.
Circonferenza[punto A, punto B, punto C]	Circonferenza per i tre punti A, B e C
Conica[punto A, punto B, punto C, punto D, punto E]	Conica per cinque punti A, B, C, D, e C. I punti devono essere a quattro a quattro non allineati.
Curva[espressione e1, espressione e2, parametro t, numero a, numero b]	Curva in forma parametrica con espressione e1 per la x ed e2 per la y (dipendenti dal parametro t) nell’intervallo dato [a, b] Esempio: c = Curva[2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 pi]
Derivata[funzione f]	Derivata della funzione f(x). È possibile utilizzare f’(x) invece di Derivata[f]
Derivata[funzione f, numero n]	n-esima derivata della funzione f(x). È possibile utilizzare f’’(x) invece di Derivata[f, 2].
Diametro[retta g , conica c]	Diametro della conica c parallelo alla retta g.
Diametro[vettore v, conica c]	Diametro della conica c con vettore direzione v.
Distanza[punto A, punto B]	Distanza tra due punti A e B.
Distanza[punto A, retta g]	Distanza di un punto A da una retta g.
Distanza[retta g, retta h]	Distanza tra le rette g e h. La distanza tra due rette incidenti è 0. Questa funzione è utile per le rette parallele.
Ellisse[punto F, punto G, numero a]	Ellisse di fuochi F, G e lunghezza del semiasse maggiore a. Condizione: 2a > Distanza[F,G].
Ellisse[punto F, punto G, segmento s]	Ellisse di fuochi F, G e lunghezza del semiasse maggiore uguale a quella del segmento s (a = Lunghezza[s]).
Funzione[funzione f, numero a, numero b]	restituisce una funzione uguale a f nell’intervallo [a, b] e non definita al di fuori di [a, b].
Integrale[funzione f, numero a, numero b]	Integrale definito di f(x) tra a e b. Nota: Questo comando disegna anche l’area tra il grafico della funzione e l’asse x.
Integrale[funzione f, funzione g, numero a, numero b]	Integrale definito di f(x)-g(x) da a a b. Nota: Con questo comando viene tracciata anche l’area tra i grafici delle funzioni f e g.
Intersezione[retta g, retta h]	Punti di intersezione di due rette g e h.
Intersezione[retta g, conica c]	Tutti i punti di intersezione di g e c (max. 2).
Intersezione[retta g, conica c, numero n]	n-esimo punto di intersezione di g e c.
Intersezione[conica c1, conica c2]	Tutti i punti di intersezione di c1 e c2 (max. 4).
Intersezione[conica c1, conica c2, numero n]	n-esimo punto di intersezione di c1 e c2.
Intersezione[polinomio f1, polinomio f2]	Tutti i punti di intersezione di f1 e f2.
Intersezione[polinomio f1, polinomio f2, numero n]	n-esimo punto di intersezione di f1 e f2.
Intersezione[polinomio f, retta g]	Tutti i punti di intersezione tra il polinomio f e la retta g.
Intersezione[polinomio f, retta g, numero n]	n-esimo punto di intersezione tra il polinomio f e la retta g.
Intersezione[funzione f, funzione g, punto A]	Punto di intersezione tra le funzioni f e g con punto iniziale A (per il metodo di Newton).
Intersezione[funzione f, retta g, punto A]	Punto di intersezione tra la funzione f e la retta g con punto iniziale A (per il metodo di Newton).
Iterazione[funzione f, numero x0, numero n]	Itera la funzione f n volte utilizzando il valore di avvio immesso x0. Esempio: Dopo aver definito f(x) = x^2 il comando Iterazione[f, 3, 2] restituisce il risultato .
Lunghezza[vettore v]	Lunghezza di un vettore.
Lunghezza[punto A]	Lunghezza del vettore posizione di A.
Lunghezza[funzione f, numero x1, numero x2]	Lunghezza del grafico della funzione f tra i numeri x1 e x2.
Lunghezza[funzione f, punto A, punto B]	Lunghezza del grafico della funzione f tra i due punti A e B sul grafico.
Lunghezza[curva c, numero t1, numero t2]	Lunghezza della curva c tra i numeri t1 e t2.
Lunghezza[curva c, punto A, punto B]	Lunghezza della curva c tra i due punti A e B sulla curva.
Lunghezza[lista L]	Lunghezza della lista L (numero di elementi nella lista).
Luogo[punto Q, punto P]	Restituisce il luogo del punto Q al variare del punto P. Nota: Il punto P deve essere un punto su un oggetto (ad es. retta, segmento, circonferenza).
Parabola[punto F, retta g]	Parabola di fuoco F e direttrice g.
Pendenza[retta g]	Pendenza di una retta g. Con questo comando viene tracciato anche il triangolo di pendenza, le cui dimensioni possono essere modificate dalla finestra di dialogo delle proprietà.
Perimetro[poligono poly]	Perimetro di un poligono poly.
Perpendicolare[punto A, retta g]	Retta per A perpendicolare a g.
Perpendicolare[punto A, vettore v]	Retta per A perpendicolare a v.
Poligono[punto A, punto B, punto C, …]	Poligono definito dai punti immessi A, B, C,…
Poligono[punto A, punto B, numero n]	Poligono regolare di n vertici (inclusi i punti A e B).
Polinomio[funzione f]	Espande la funzione polinomiale f. Esempio: Polinomio[ (x – 3)^2] produce .
PolinomioTaylor[funzione f, numero a, numero n]	sviluppo in serie di potenze di ordine n della funzione f con centro nel punto x=a.
Punto[retta g]	Punto su una retta g.
Punto[conica c]	Punto su una conica c (es circonferenza, ellisse, iperbole).
Punto[funzione f]	Punto su una funzione f.
Punto[poligono poly]	Punto su un poligono poly.
Punto[vettore v]	Punto su un vettore v.
Punto[punto P, vettore v]	Costruisce il punto P+v.
PuntoMedio[punto A, punto B]	Punto medio tra A e B.
PuntoMedio[segmento s]	Punto medio del segmento s.
Simmetrico[punto A, punto B]	Simmetrico del punto A rispetto al punto B.
Simmetrico[retta g, punto B]	Simmetrico della retta g rispetto al punto B.
Simmetrico[conica c, punto B]	Simmetrico della conica c rispetto al punto B.
Simmetrico[poligono poly, punto B]	Simmetrico del poligono poly rispetto al punto B.
Simmetrico[punto A, retta h]	Simmetrico del punto A rispetto alla retta h.
Simmetrico[retta g, retta h]	Simmetrico della retta g rispetto alla retta h.
Simmetrico[conica c, retta h]	: Simmetrico della conica c rispetto alla retta h.
Simmetrico[poligono poly, retta h]	Simmetrico del poligono poly rispetto alla retta h.
Successione[espressione e, variabile i, numero a, numero b]	Elenco di oggetti generato utilizzando l’espressione e e l’indice i, che varia dal numero a al numero b. Esempio: L = Successione[(2, i), i, 1, 5] crea un elenco di punti le cui ordinate variano da 1 a 5.
Vettore[punto A, punto B]	Vettore tra A e B Vettore[punto A]: Vettore posizione di un punto A